Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖(1)擺放(點C與點E重合)，點B、C(E)、F在同一條直線上．∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，EF＝9 cm．

如圖(2)，△DEF從圖(1)的位置出發(fā)，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，以2 cm/s的速度沿BA向點A勻速移動．當(dāng)△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動．DE與AC相交于點Q，連接PQ，設(shè)移動時間為t(s)(0＜t＜4.5)．解答下列問題：

(1)當(dāng)t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？

(2)連接PE，設(shè)四邊形APEC的面積為y(cm²)，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時刻t，使面積y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，說明理由．

(3)是否存在某一時刻t，使P、Q、F三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．(圖(3)供同學(xué)們做題使用)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵點A在線段PQ的垂直平分線上， 　　∴AP＝AQ． 　　∵∠DEF＝45°，∠ACB＝90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC＝180°， 　　∴∠EQC＝45° 　　∴∠DEF＝∠EQC 　　∴CE＝CQ 　　由題意知：CE＝t，BP＝2t， 　　∴CQ＝t 　　∴AQ＝8－t 　　在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝10 cm 　　則AP＝10－2t 　　∴10－2t＝8－t 　　解得：t＝2 　　答：當(dāng)t＝2 s時，點A在線段PQ的垂直平分線上　　4分 　　(2)過P作，交BE于M， 　　∴ 　　在Rt△ABC和Rt△BPM中，， 　　∴．∴PM＝ 　　∵BC＝6 cm，CE＝t，∴BE＝6－t 　　∴y＝S△ABC－S△BPE＝－＝－ 　�。�＝ 　　∵，∴拋物線開口向上 　　∴當(dāng)t＝3時，y最小＝ 　　答：當(dāng)t＝3 s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm2　　8分 　　(3)假設(shè)存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上 　　過P作，交AC于N， 　　∴ 　　∵，∴△PAN∽△BAC 　　∴ 　　∴ 　　∴， 　　∵NQ＝AQ－AN， 　　∴NQ＝8－t－()＝． 　　∵∠ACB＝90°，B、C(E)、F在同一條直線上， 　　∴∠QCF＝90°，∠QCF＝∠PNQ 　　∵∠FQC＝∠PQN， 　　∴△QCF∽△QNP 　　∴．∴