Question

如圖，直線y=﹣3x﹣3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°后得到△DOC，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)。
（1）填空：A（ _________ ， _________ ）、B（ _________ ， _________ ）、C（ _________ ， _________ ）；（2）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）E為拋物線的頂點(diǎn)，在線段DE上是否存在點(diǎn)P，使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△DOC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）直線y=﹣3x﹣3中， x=0，則y=﹣3； y=0，則x=﹣1； ∴A（﹣1，0），B（0，﹣3）； 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：OC=OB=3，即C（3，0）； ∴A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（3，0）； （2）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)B點(diǎn)， ∴c=﹣3； 又∵拋物線經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)， ∴， 解得； ∴y=x2﹣2x﹣3； （3）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸垂足為點(diǎn)F； 由（2）得y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 ∴E（1，﹣4）， ∵tan∠EDF=，tan∠DCO=； ∴∠EDF=∠DCO ∵∠DCO+∠ODC=90°， ∴∠EDF+∠ODC=90°； ∴∠EDC=90°， ∴∠EDC=∠DOC； ①當(dāng)=時(shí)，△ODC∽△DPC，則=， ∴DP= 過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸，垂足為點(diǎn)G； ∵tan∠EDF==， ∴設(shè)PG=x，則DG=3x 在Rt△DGP中，DG2+PG2=DP2， ∴9x2+x2=， ∴x1=，x2=﹣（不合題意，舍去） 又∵OG=DO+DG=1+1=2， ∴P（，﹣2）； ②當(dāng)=時(shí)，△ODC∽△DCP，則=， ∴DP=3； ∵DE==， ∴DP=3（不合題意，舍去） 綜上所述，存在點(diǎn)P，使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△DOC相似， 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（，﹣2）。