Question

探究并證明以下問題：
（1）如圖1，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，且∠AOB=60°，點BO為線段上任意一點，以AP為邊作等邊三角形APF．連結(jié)BF，求證：BF=OP．
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點P為BC邊上任意一點，以AP為邊作正方形APMN，F(xiàn)為正方形APMN的中心，連結(jié)BF，直接寫出BF與CP的數(shù)量關(guān)系

 

．
（3）如圖3，在菱形ABCD中，AB：AC=m：n，點P為BC邊上一點，以AP為對角線作菱形AFPM，滿足∠ABC=∠AFP，連結(jié)BF，猜想BF與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)得出AB=AO，∠PAO=60°-∠BAP，進(jìn)而證明△FAB≌△PAO即可得出答案；
（2）連接AC、AF、PF、BQ，過P作PQ⊥AC于Q，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠BFP=∠BQP，∠FBP=∠QPB，根據(jù)全等三角形的判定推出兩三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出BF=PQ，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可得出答案；
（3）首先利用菱形的性質(zhì)得出，F(xiàn)A=FP，進(jìn)而得出△FAP∽△BAC，以及△FAB∽△PAC，即可得出BF與CP的數(shù)量關(guān)系．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=AO，∠PAO=60°-∠BAP，
在△FAB和△PAO中，

AB=AO ∠FAB=∠OAP AF=AP

，
∴△FAB≌△PAO（SAS），
∴BF=OP；

（2）連接AC、AF、PF、BQ，過P作PQ⊥AC于Q，
∵四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)為正方形APMN的中心，
∴∠ACB=∠APF=45°，∠AFP=∠ABC=90°，
∴A、F、B、P四點共圓，
∴∠ABF=∠ABF=45°，∠BFP=∠BAP，
同理∠ABP=∠AQP=90°，
∴∠ABP+∠AQP=180°，
∴∠BAP=∠BQP，
∴∠BFP=∠PQB，
∵PQ⊥AC，
∴∠QPC=∠ACB=45°，
∴∠FBP=∠QPB=90°+45°=135°，
在△FBP和△QPB中，

∠BFP=∠PQB ∠FBP=∠QPB BP=BP

，
∴△FBP≌△QPB（AAS），
∴BF=PQ，
∵∠PQC=90°，∠ACB=∠QPC=45°，
∴PQ=

2

2

CP，
∴BF=

2

2

CP，
故答案為：BF=

2

2

CP．

（3）BF=

m

n

CP．
理由：∵四邊形ABCD為菱形，
∴BA=BC，
∴∠BAC=

1

2

（180°-∠ABC），
∵四邊形AFPM是菱形，
∴FA=FP，
∴∠FAP=

1

2

（180°-∠AFP），
∵∠ABC=∠AFP，
∴∠BAC=∠FAP，
∴△FAP∽△BAC，
∴

AF

AB

=

AP

AC

即

AF

AP

=

AB

AC

，
∵∠FAB=∠FAP-∠BAP，∠PAC=∠BAC-∠BAP，
∴∠FAB=∠PCA，
∴△FAB∽△PAC，
∴

BF

CP

=

AB

AC

=

m

n

，
即BF=

m

n

CP．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度．