Question

如圖，已知：△ABC中，AB=AC，BD和CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且相交于O點．
①試說明△OBC是等腰三角形；
②連接OA，試判斷直線OA與線段BC的關系，并說明理由．

Answer 1

解：①∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA；
∵BD、CE分別平分∠ABC、∠BCA，
∴∠OBC=∠BCO；
∴OB=OC，
∴△OBC為等腰三角形．

②在△AOB與△AOC中．
∵，
∴△AOB≌△AOC（SSS）；
∴∠BAO=∠CAO；
∴直線AO垂直平分BC．（等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合）
分析：①根據對邊對等角得到∠ABC=∠ACB，再結合角平分線的定義得到∠OBC=∠OCB，從而證明OB=OC；
②首先根據全等三角形的判定和性質得到OA平分∠BAC，再根據等腰三角形的三線合一的性質得到直線AO垂直平分BC．
點評：此題考查了等腰三角形的性質，綜合利用了全等三角形的判定和角平分線的定義，對各知識點要能夠熟練運用．