Question

如圖，P為⊙O的直徑AB反向延長線上一點(diǎn)，PQ切⊙O于點(diǎn)Q，若tan∠P=，則tan∠B的值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：連接OQ，AQ，過A作AM⊥PQ，由PQ為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到PQ垂直于OQ，在直角三角形OPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tanP，設(shè)OQ=3k，得到PQ=4k，利用勾股定理得到OP=5k，由OP-OA表示出AP，再由一對直角相等，一對公共角，得到三角形APM與三角形OPQ相似，由相似得比例，表示出AM，在直角三角形APM中，利用勾股定理表示出PM，由PQ-PM表示出MQ，由弦切角等于夾弧所對的圓周角得到∠PQA=∠B，可得出tan∠PQA=tanB，在直角三角形AQM中，利用銳角三角函數(shù)定義求出tan∠PQA的值，即為tanB的值．
解答：解：連接OQ，AQ，過A作AM⊥PQ，如圖所示：
∵PQ為圓O的切線，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△OPQ中，tanP==，
設(shè)OQ=3k，則PQ=4k，根據(jù)勾股定理得：OP=5k，
AP=OP-OA=5k-3k=2k，
∵∠OQP=∠AMP=90°，∠P=∠P，
∴△APM∽△OPQ，
∴=，
∴AM==k，
在Rt△APM中，AP=2k，AM=k，
根據(jù)勾股定理得：PM==k，
∴MQ=PQ-PM=4k-k=k，
∵∠PQA=∠B，
∴tanB=tan∠PQA===．
故選B
點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．