Question

如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝BE．

⑴求證：CE＝CF；
⑵若G在AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE＋GD成立嗎？為什么？

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）成立。

解析試題分析：（1）由DF=BE，四邊形ABCD為正方形可證△CEB≌△CFD，從而證出CE=CF．
（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可證得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因?yàn)镈F=BE，所以可證GE=BE+GD成立．
⑴證明：在正方形ABCD中，
∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，
∴△CBE≌△CDF．
∴CE＝CF．
⑵解：GE＝BE＋GD成立．
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF．
∴∠ECD＋∠ECB＝∠ECD＋∠FCD
即∠ECF＝∠BCD＝90°，
又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．
∵CE＝CF，∠GCF＝∠GCE，GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴EG＝GF．
∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．
考點(diǎn)：本題考查的是正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)
點(diǎn)評(píng)：證兩條線段相等往往轉(zhuǎn)化為證明這兩條線段所在三角形全等的思想，在第二問(wèn)中也是考查了通過(guò)全等找出和GE相等的線段，從而證出關(guān)系是不是成立．