Question

【題目】如圖，⊙O是銳角△ABC的外接圓，FH是⊙O的切線，切點為F，FH∥BC，連結AF交BC于E，∠ABC的平分線BD交AF于D，連結BF．下列結論：①AF平分∠BAC；②點F為△BDC的外心；③；④若點M，N分別是AB和AF上的動點，則BN+MN的最小值是ABsin∠BAC．其中一定正確的是_____（把你認為正確結論的序號都填上）．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

如圖1，連接OF，CF，通過切線的性質證OF⊥FH，進而由FH∥BC，得OF⊥BC，即可由垂徑定理得到F是弧BC的中點，根據圓周角定理可得∠BAF＝∠CAF，可得AF平分∠BAC；由三角形外角性質和同弧所對的圓周角相等可得∠BDF＝∠FBD，可得BF＝DF＝CF，可得點F為△BDC的外心；如圖2，過點C作CG∥AB，交AF的延長線于點G，通過證明△BAE∽△CGE，可得，即可判斷③；如圖3，作點M關于AF的對稱點M'，當點N在線段BM'上，且BM'⊥AC時，BN+MN有最小值為BM'，即可判斷④．

解：如圖1，連接OF，CF，

∵FH是⊙O的切線，

∴OF⊥FH，

∵FH∥BC，

∴OF⊥BC，且OF為半徑，

∴OF垂直平分BC，

∴＝，

∴∠1＝∠2，BF＝CF，

∴AF平分∠BAC，故①正確，

∵∠1＝∠2，∠4＝∠3，∠5＝∠2，

∴∠1+∠4＝∠2+∠3，

∴∠1+∠4＝∠5+∠3，

∵∠1+∠4＝∠BDF，∠5+∠3＝∠FBD，

∴∠BDF＝∠FBD，

∴BF＝FD，且BF＝CF，

∴BF＝DF＝CF，

∴點F為△BDC的外心，故②正確；

如圖2，過點C作CG∥AB，交AF的延長線于點G，

∵CG∥AB，

∴∠BAE＝∠EGC，且∠BAE＝∠CAE，

∴∠CAE＝∠CGE，

∴AC＝CG，

∵CG∥AB，

∴△BAE∽△CGE，

∴，

∴＝＝，

故③正確；

如圖3，作點M關于AF的對稱點M'，

∵點M與點M'關于AF對稱，

∴MN＝M'N，

∴BN+MN＝BN+M'N，

∴當點N在線段BM'上，且BM'⊥AC時，BN+MN有最小值為BM'，且sin∠BAC＝，

∴BN+MN最小值為ABsin∠BAC，

故④正確，

故答案為：①②③④．