Question

如圖，正方形ABCD中，AB=l，BC為⊙O的直徑，設AD邊上有一動點P（不運動至A、D），BP交⊙O于點F，CF的延長線交AB于點E，連接PE．
（1）設BP=x，CF=y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當CF=2EF時，求BP的長；
（3）是否存在點P，使△AEP∽△BEC（其對應關系只能是A-B，E-E，P-C）？如果存在，試求出AP的長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BFC=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=1，∠ABC=∠A=90°，
∴AB是⊙O的切線，
∴∠ABP=∠FCB，
∴△ABP∽△FCB，
∴，
∵BP=x，CF=y，
∴，
∴y與x之間的函數關系式為：y=，
自變量x的取值范圍為：1＜x＜；

（2）∵∠ABC=90°，BF⊥EC，
∴BC²=CF•EC，
∵CF=2EF，
∴CF•CF=1，
∴CF=，
∴BP==；

（3）存在．
理由：∵∠A=∠ABC=90°，∠ABP=∠BCE，AB=BC，
∴△ABP≌△BCE，
∴AP=BE，
若△AEP∽△BEC，
需，
設AP=a，則BE=AP=a，AE=1-a，
∴，
∴即a²+a-1=0，
解得：a=或a=（舍去），
∴AP=．
分析：（1）由BC為⊙O的直徑與四邊形ACD是正方形，即可求得AB=BC=1，∠ABC=∠A=90°，則可證得△ABP∽△FCB，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得y與x之間的函數關系式；
（2）由射影定理，可得BC²=CF•EC，又由CF=2EF，即可求得CF的長，由（1）求得BP的長；
（3）由△ABP≌△BCE可得：AP=BE，由△AEP∽△BEC，即可得比例式，設AP=a，則BE=AP=a，AE=1-a，解方程即可求得AP的長．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，正方形的性質，圓的性質，射影定理等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．