Question

19．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，已知∠AOB=60°，AC=6，則矩形ABCD的面積是9$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠ABC=90°，OA=OB=OC=OD，得出等邊三角形AOB，求出AB=OA=3，根據(jù)勾股定理求出BC，即可得出結(jié)果．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BD=AC=6，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=3，BO=OD=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴OA=OB=OC=OD，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=OB=3，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴矩形ABCD的面積=AB•BC=3×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$；
故答案為：9$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了矩形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點(diǎn)熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形AOB是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．