Question

17．感知：如圖①，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形ABCD內(nèi)部的點F處，延長AF交CD于點G，連結FC，易證∠GCF=∠GFC．
探究：將圖①中的矩形ABCD改為平行四邊形，其他條件不變，如圖②，判斷∠GCF=∠GFC是否仍然相等，并說明理由．
應用：如圖②，若AB=5，BC=6，則△ADG的周長為16．

Answer 1

分析 探究：由?ABCD及折疊可得∠B+∠ECG=∠AFE+∠ECG=∠AFE+∠EFG=180°，即∠ECG=∠EFG，再根據(jù)EB=EF=EC得∠EFC=ECF，從而可得∠GCF=∠GFC；
應用：由（1）中∠GCF=∠GFC得GF=GC，AF=AB，根據(jù)△ADG的周長AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD可得．

解答 解：探究：∠GCF=∠GFC，理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠ECG=180°，
又∵△AFE是由△ABE翻折得到，
∴∠AFE=∠B，EF=BE，
又∵∠AFE+∠EFG=180°，
∴∠ECG=∠EFG，
又∵點E是邊BC的中點，
∴EC=BE，
∵EF=BE，
∴EC=EF，
∴∠ECF=∠EFC，
∴∠ECG-∠ECF=∠EFG-∠EFC，
∴∠GCF=∠GFC；
應用：∵△AFE是由△ABE翻折得到，
∴AF=AB=5，
由（1）知∠GCF=∠GFC，
∴GF=GC，
∴△ADG的周長AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD=AD+AB+CD=6+5+5=16，
故答案為：應用、16．

點評 該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等幾何知識點及其應用問題，解題的關鍵是牢固掌握翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等幾何知識點．