Question

7．（1）若方程x²+（2k-1）x+k²-1=0的兩實數根的平方和等于9，求k的值．
（2）若不等式ax²+bx+c＜0（a≠0）的解是x＜2或x＞3，解不等式bx²+ax²c＞0．

Answer 1

分析 （1）根據一元二次方程根與系數的關系，求得方程兩根的和與兩根的積，根據x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，即可得到關于k的方程，從而求得k的值．
（2）由不等式ax²+bx+c＜0的解集為x＜2或x＞3，可得2，3為方程ax²+bx+c=0的兩根，利用根與系數的關系得到系數的比，變形后得到b=-5a，c=6a．由此求出方程bx²+ax+c的兩根，則不等式bx²+ax+c＞0的解集可求．

解答 解：（1）設方程兩個根為x₁和x₂，由于實數根的平方和等于9，
所以x₁²+x₂²=9，即x₁²+x₂²=x₁²+2x₁x₂+x₂²-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9，
又因為x₁+x₂=-$\frac{a}$=1-2k，x₁x₂=$\frac{c}{a}$=k²-1，
代入上式得（1-2k）²-2（k²-1）=9，即k²-2k-3=0，解得k=-1或k=3．
當k=3時，x²+5x+8=0中，△=25-32=-7＜0，方程無解，
故k=-1．
（2）∵不等式ax²+bx+c＜0的解集為x＜2或x＞3，
∴2，3為方程ax²+bx+c=0的兩個實數根，且a＜0．
∴-$\frac{a}$=2+3，$\frac{c}{a}$=2×3，
則b=-5a，c=6a．
代入不等式bx²+ax+c＞0可得-5ax²+ax+6a＞0，
∵a＜0．
∴-5x²+x+6＜0，即-（x+1）（5x-6）＜0，
解得x＜-1，x＞$\frac{6}{5}$，
即不等式bx²+ax+c＞0的解集是x＜-1，x＞$\frac{6}{5}$．

點評 （1）考查了一元二次方程根與系數的關系及根的判別式，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．
（2）考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力和計算能力．