Question

2．如圖，將矩形ABCD沿直線AC折疊，點B落在點E處，連接DE，BE，若△ABE為等邊三角形，且S_△CDE=$\sqrt{3}$，則CD的長為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過E作EM⊥AB于M，交DC于N，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出DC=AB，DC∥AB，∠ABC=90°，設(shè)AB=AE=BE=2a，則BC=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$a=MN，求出EN，再根據(jù)S_△CDE=$\sqrt{3}$，列方程求解，即可得到a的值，進而得到CD的長．

解答 解：如圖，過E作EM⊥AB于M，交DC于N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC=AB，DC∥AB，∠ABC=90°，
∴MN=BC，EN⊥DC，
∵延AC折疊B和E重合，△AEB是等邊三角形，
∴∠EAC=∠BAC=30°，
設(shè)AB=AE=BE=2a，則BC=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$a，即MN=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$a，
∵△ABE是等邊三角形，EM⊥AB，
∴AM=a，由勾股定理得：EM=$\sqrt{3}$a，
∴△DCE的面積是$\frac{1}{2}$×DC×EN=$\frac{1}{2}$×2a×（$\sqrt{3}$a-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$a）=$\frac{1}{3}\sqrt{3}{a}^{2}$，
又∵S_△CDE=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{3}\sqrt{3}{a}^{2}$=$\sqrt{3}$，
解得a=$\sqrt{3}$，（負(fù)值已舍去）
∴CD=2a=2$\sqrt{3}$，
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是作輔助線，依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形進行計算．解題時注意方程思想的運用．