Question

如圖1，點A、B、C、D為拋物線y=-2x²+bx+c上的點，其中A為頂點，ABCD為正方形，過C作EF∥BD，
（1）當(dāng)EF與x軸重合，且E為坐標(biāo)原點，求拋物線解析式及EF的長；
（2）如圖2，若拋物線改為“y=ax²+bx+c且EF=

2

”，其余條件不變，求a值．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)即可得出AH=DH=

1

2

AC，進而表示出二次函數(shù)的解析式，得出D點坐標(biāo)，利用圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)得出m的值即可得出二次函數(shù)的解析式，求出EF即可；
（2）利用正方形的性質(zhì)即可得出AH=DH=

1

2

AC，進而表示出二次函數(shù)的解析式，得出D點坐標(biāo)，利用圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)得出m的值即可得出二次函數(shù)的解析式，求出EF，即可得出a的值．

解答：解：（1）連接AC、BD交于點H，
∵ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，AH=DH=

1

2

AC，
根據(jù)拋物線的對稱性，又∵AB=AD，
∴BD∥x軸，
設(shè)拋物線為y=-2（x-h）²+k，
∴頂點A（h，k），
設(shè)AH=DH=m，
∴D（h+m，k-m），
∵D為拋物線上的點，
∴k-m=-2（h+m-h）²+k，
m1=

1

2

，m₂=0（不符合題意，舍去），
∴AC=2m=1，即k=1，
∴y=-2（x-h）²+1將（0，0）代入0=-2（0-h）²+1，
h1=

2

2

，h2=-

2

2

（不符合題意，舍去），
∴y=-2(x-

2

2

)2+1=-2x2+2

2

x，
令y=0，-2x2+2

2

x=0，
∴x₁=0，x2=

2

，
∴EF=

2

；

（2）連接AC、BD交于點H，
∵ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，AH=DH=

1

2

AC，
根據(jù)拋物線的對稱性，又∵AB=AD，
∴BD∥x軸，
設(shè)拋物線為y=a（x-h）²+k，
∴頂點A（h，k），
設(shè)AH=DH=m，∴D（h+m，k-m），
∵D為拋物線上的點，
∴k-m=a（h+m-h）²+k，
m1=-

1

a

，m₂=0（不符合題意，舍去），
∴AC=-

2

a

即C（h，k+

2

a

），
∵EF∥BD，EF=

2

，
根據(jù)拋物線對稱性，CF=

1

2

EF=

2

2

，
∴F（h+

2

2

，k+

2

a

），
∴k+

2

a

=a(h+

2

2

-h)2+k

2

a

=

1

2

a，
∴a²=4，
a=±2，
∵開口向下，
∴a的值為-2．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)已知圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)得出坐標(biāo)中m的值是解題關(guān)鍵．