Question

已知：拋物線y=kx²+（k+1）x+．
（1）求k=4時，與x軸的交點；
（2）命題“拋物線y=kx²+（k+1）x+=0與x軸一定有兩個交點”是否正確？正確的話，請證明；不正確的話，請舉一個反例；
（3）直線y=x與拋物線的有幾個交點？并加以說明．

Answer 1

解：（1）當(dāng)k=4時，有
y=4x²+5+1，
令y=0，得4x²+5+1=0，
解得x=-1或-；

（2）令y=0得方程，
kx²+（k+1）x+=0
△=（k+1）²-4k×=2k+1，
當(dāng)k=-時，△=0，方程只有一根，
拋物線y=kx²+（k+1）x+=0與x軸只有一個交點；
∴這句話錯誤；

（3）已知直線y=x和拋物線y=kx²+（k+1）x+，
∴kx²+（k+1）x+=x，
得到方程kx²+kx+=0，
△=k²-4×k×=0，
∴直線y=x與拋物線的有1交點．
分析：（1）把k=4代入拋物線y=kx²+（k+1）x+，然后令y=0，再解方程求出與x軸的交點；
（2）令y=0，得到方程kx²+（k+1）x+=0，根據(jù)方程根的判別式與0的關(guān)系來證明；
（3）把y=x與拋物線y=kx²+（k+1）x+聯(lián)立方程，然后再根據(jù)方程的判別式來判斷兩函數(shù)交點的個數(shù)．
點評：此題主要考查一元二次方程與函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)就是方程的根，若方程無根說明函數(shù)與x軸無交點，其圖象在x軸上方或下方，兩者互相轉(zhuǎn)化，要充分運(yùn)用這一點來解題．