Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系，A（a，0），B（b，0），C（-1，2），且|2a+b+1|+（a+2b-4）²=0．
（1）求a，b的值；
（2）①在x軸的正半軸上存在一點(diǎn)M，使S_△COM=

1

2

△ABC的面積，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②在坐標(biāo)軸的其他位置是否存在點(diǎn)M，使△COM的面積=

1

2

△ABC的面積仍然成立？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形的面積

專題：

分析：（1）解方程組即可得出a，b的值，
（2）①先求出△ABC的面積，再利用△COM的面積是△ABC面積的

1

2

，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
②利用△COM的面積是△ABC面積的

1

2

，分別求出M在x軸負(fù)半軸上的坐標(biāo)和在y軸上的坐標(biāo)即可．

解答：解（1）∵|2a+b+1|+（a+2b-4）²=0，
又∵|2a+b+1|和（a+2b-4）²都是非負(fù)數(shù)，
所以得

2a+b+1=0 a+2b-4=0

，
解方程組得，

a=-2 b=3

，
∴a=-2，b=3．
（2）①由（1）得A，B點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-2，0），B（3，0），|AB|=5．
∵C（-1，2），
∴△ABC的AB邊上的高是2，
∴S△ABC=

1

2

×5×2=5．
要使△COM的面積是△ABC面積的

1

2

，而C點(diǎn)不變，即三角形的高不變，M點(diǎn)在x軸的正半軸上，只需使OM=

1

2

AB=

1

2

×5=

5

2

．
此時(shí)S△COM=

1

2

×

5

2

×2=

5

2

．
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為M(

5

2

，0)
②由①中M(

5

2

，0)的對(duì)稱點(diǎn)得M1(-

5

2

，0)，
當(dāng)M在y軸上時(shí)，△COM的高為1，
∵△COM的面積=

1

2

△ABC的面積，
∴

1

2

|OM|×1=

5

2

∴OM=±5，
∴M₂（0，5）M₃（0，-5）．
故答案為：（-

5

2

，0），（0，5），（0，-5）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)與三角形的面積，解題的關(guān)鍵是在利用三角形的面積是確定高的長度．