Question

如圖：已知△ABC的三條中線AD=15、BE=12、CF=9，求△ABC的面積．

Answer 1

解：如圖，把△BDG繞點D作中心對稱變換成△CDM，
∴CG=CF=6，CM=BG=BE=8，GM=2GD=AD=10，
∴△GCM是直角三角形，即∠GCM=90°，
∴S_△GCM=CG•CM=24，
∴S_△BGC=S_△GCM=24，
∴S_△ABC=3S_△BGC=72．
分析：如圖，首先把△BDG繞點D作中心對稱變換得到△CDM，然后根據(jù)重心的性質(zhì)可以分別得到CG=CF=6，CM=BG=BE=8，GM=2GD=AD=10，由此利用勾股定理的逆定理可以證明△GCM是直角三角形，即∠GCM=90°，再利用三角形的面積公式求出S_△GCM，最后可以得到S_△BGC=S_△GCM=24，而S_△ABC=3S_△BGC，由此即可求解．
點評：此題分別考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理及三角形的面積公式，其中對于中線問題一般可以嘗試中心變換，此題把三條中線的有關(guān)線段集中在一起，構(gòu)造出一個規(guī)則圖形--直角三角形．