Question

如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F(xiàn)為AB的中點，DE，AB相交于點G，若∠BAC=30⁰，下列結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為平行四邊形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA.其中正確結(jié)論的序號是：（▲）

A、②④            B、①③    

C、②③④          D、①②③④       

 

Answer 1

【答案】

D

【解析】∵△ACE是等邊三角形，

∴∠EAC=60°，AE=AC，

∵∠BAC=30°，

∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，

∵F為AB的中點，

∴AB=2AF，

∴BC=AF，

∴△ABC≌△EFA，

∴FE=AB，

∴∠AEF=∠BAC=30°，

∴EF⊥AC，故①正確，

（含①的只有B和D，它們的區(qū)別在于有沒有④．它們都是含30°的直角三角形，并且斜邊是相等的），

∵AD=BD，BF=AF，

∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，

∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，

∴∠DFB=∠EAF，

∵EF⊥AC，

∴∠AEF=30°，

∴∠BDF=∠AEF，

∴△DBF≌△EFA（AAS），故④正確．

∴AE=DF，

∵FE=AB，

∴四邊形ADFE為平行四邊形，故②正確；

∴AG= AF，

∴AG=AB，

∵AD=AB，

則AD=AG，故③，

故選D．