Question

有若干個(gè)數(shù)a₁、a₂，a₃，…，a_n，若a₁=-

1

2

，從第二個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都等于“1與它前面的那個(gè)數(shù)差的倒數(shù)”．
（1）求a₂=

 

；a₃=

 

；
（2）求a₉•a₁₀•a₁₁的值；
（3）是否存在M的值，使M÷（a_n-1•a_n•a_n+1）=a₁？若存在，請(qǐng)求出M的值．

Answer 1

考點(diǎn)：規(guī)律型：數(shù)字的變化類

專題：

分析：（1）將各個(gè)數(shù)字依次計(jì)算，因?yàn)閍₁=-

1

2

，得出a₂=

1

1-(- 1 2 )

，a₃=

1

1- 2 3

，進(jìn)而得出答案；
（2）根據(jù)題意得出a₄=

1

1-3

，故得出這些數(shù)字不斷重復(fù)出現(xiàn)，周期為3，從而求解；
（3）利用a_n-1•a_n•a_n+1，為連續(xù)三個(gè)數(shù)，進(jìn)而得出a_n-1．a(chǎn)_n．a(chǎn)_n+1=-1，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）由題意可得：∵a₁=-

1

2

，
∴a₂=

1

1-(- 1 2 )

=

2

3

，a₃=

1

1- 2 3

=3；
故答案為：

2

3

，3；

（2）由題意可得：a₄=

1

1-3

=-

1

2

，則a的值每3個(gè)一循環(huán)，
故a₉=a₃，a₁₀=a₁，a₁₁=a₂，
則a₉•a₁₀•a₁₁=-

1

2

×

2

3

×3=-1；

（3）從該題可以看出，a_n-1•a_n•a_n+1，為連續(xù)三個(gè)數(shù)，從第一問中我們已經(jīng)得出結(jié)論，
任意三個(gè)連續(xù)的數(shù)字，它們?nèi)齻�(gè)數(shù)字均為-

1

2

，

2

3

，3，只不過排列順序不同而已．
因此，這三個(gè)數(shù)字相乘，得出的結(jié)果是：a_n-1．a(chǎn)_n．a(chǎn)_n+1=-1．又已知A₁=-

1

2

，
所以，利用倒推法，由-

1

2

×（-1）=

1

2

，
故這個(gè)M值存在，它的值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了數(shù)字變化類，根據(jù)題意得出a的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．