Question

如圖，拋物線與x軸交于A．B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點C與點F關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AF交y軸于點E，|OC|：|OA|=5：1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求直線AF的解析式；

（3）在直線AF上是否存在點P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=x²﹣4x﹣5（2）y=﹣x﹣1 (3) 直線AF上存在點P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形

【解析】解：（1）在y=x²﹣bx﹣5中令x=0，得y=5，∴|OC|=5。

 ∵|OC|：|OA|=5：1，∴|OA|=1�！郃（﹣1，0）。

把A（﹣1，0）代入y=x²﹣bx﹣5得（﹣1）²+b﹣5=0，解得b=4。

∴拋物線的解析式為y=x²﹣4x﹣5。

（2）∵y=x²﹣4x﹣5=（x﹣2）²﹣9，∴拋物線的的對稱軸為x=2。

 ∵點C與點F關(guān)于對稱軸對稱，C（0，﹣5）∴F（4，﹣5）。

設(shè)直線AF的解析式為y=kx+b，

把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，得

，解得�！嘀本�FA的解析式為y=﹣x﹣1。

（3）存在。理由如下：

①當(dāng)∠FCP=90°時，點P與點E重合，

∵點E是直線y=﹣x﹣1與y軸的交點，∴E（0，﹣1）�！郟（0，﹣1）。

②當(dāng)CF是斜邊時，過點C作CP⊥AF于點P。

設(shè)P（x₁，﹣x₁﹣1），

∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F(xiàn)（4，﹣5），

∴CE=CF�！郋P=PF。∴CP=PF。

∴點P在拋物線的對稱軸上�！鄕₁=2。

把x₁=2代入y=﹣x﹣1，得y=﹣3�！郟（2，﹣3）。

綜上所述，直線AF上存在點P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形。

（1）根據(jù)拋物線解析式求出OC的長度，再根據(jù)比例求出OA的長度，從而得到點A的坐標(biāo)，然后把點A的坐標(biāo)代入拋物線解析式計算求出b，即可得到拋物線解析式。

（2）由y=x²﹣4x﹣5=（x﹣2）²﹣9可得對稱軸為x=2，根據(jù)點C、F關(guān)于對稱軸對稱可得點F的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線函數(shù)解析式求解即可。

（3）分①點P與點E重合和②CF是斜邊兩種情況討論即可。