Question

13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x²+bx+c的頂點M的坐標(biāo)為（-1，-4），且與x軸交于點A，點B（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．
（1）填空：b=2，c=-3，直線AC的解析式為y=-x-3；
（2）直線x=t與x軸相交于點H．
①當(dāng)t=-3時得到直線AN（如圖1），點D為直線AC下方拋物線上一點，若∠COD=∠MAN，求出此時點D的坐標(biāo)；
②當(dāng)-3＜t＜-1時（如圖2），直線x=t與線段AC，AM和拋物線分別相交于點E，F(xiàn)，P．試證明線段HE，EF，F(xiàn)P總能組成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值為$\frac{3}{5}$，求此時t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頂點坐標(biāo)列出關(guān)于b、c的方程組求解可得，由拋物線解析式求得A、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線AC解析式；
（2）①設(shè)點D的坐標(biāo)為（m，m²+2m-3），由∠COD=∠MAN得tan∠COD=tan∠MAN，列出關(guān)于m的方程求解可得；②求出直線AM的解析式，進(jìn)而可用含t的式子表示出HE、EF、FP的長度，根據(jù)等腰三角形定義即可判定；由等腰三角形底角的余弦值為$\frac{3}{5}$可得$\frac{\frac{1}{2}FP}{EF}$=$\frac{3}{5}$，列方程可求得t的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c的頂點M的坐標(biāo)為（-1，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}=-1}\\{\frac{4c-^{2}}{4}=-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為：y=x²+2x-3，
令y=0，得：x²+2x-3=0，解得：x₁=1，x₂=-3，
∴A（-3，0），B（1，0），
令x=0，得y=-3，
∴C（0，-3），
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
將A（-3，0），C（0，-3）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為：y=-x-3；
故答案為：2，-3，y=-x-3．

（2）①設(shè)點D的坐標(biāo)為（m，m²+2m-3），
∵∠COD=∠MAN，
∴tan∠COD=tan∠MAN，
∴$\frac{-m}{-（{m}^{2}+2m-3）}$=$\frac{2}{4}$，
解得：m=±$\sqrt{3}$，
∵-3＜m＜0，
∴m=-$\sqrt{3}$，
故點D的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$）；
②設(shè)直線AM的解析式為y=mx+n，

將點A（-3，0）、M（-1，-4）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{-m+n=-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
∴直線AM的解析式為：y=-2x-6，
∵當(dāng)x=t時，HE=-（-t-3）=t+3，HF=-（-2t-6）=2t+6，HP=-（t²+2t-3），
∴HE=EF=HF-HE=t+3，F(xiàn)P=-t²-4t-3，
∵HE+EF-FP=2（t+3）+t²+4t+3=（t+3）²＞0，
∴HE+EF＞FP，
又HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，
∴當(dāng)-3＜t＜-1時，線段HE，EF，F(xiàn)P總能組成等腰三角形；
由題意得：$\frac{\frac{1}{2}FP}{EF}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{\frac{1}{2}（-{t}^{2}-4t-3）}{t+3}$=$\frac{3}{5}$，
整理得：5t²+26t+33=0，
解得：t₁=-3，t₂=-$\frac{11}{5}$，
∵-3＜t＜-1，
∴t=-$\frac{11}{5}$．

點評 本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式函數(shù)圖象交點的求法等知識點、等腰三角形的判定等知識點，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．綜合性強(qiáng)．