Question

如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．
（1）求證：四邊形EFGH是菱形；
（2）若AC=8，求EG²+FH²的值．

Answer 1

考點：中點四邊形

專題：

分析：（1）根據三角形的中位線定理和菱形的判定，可得順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得四邊形是菱形；
（2）根據菱形的性質得到EG⊥HF，且EG=2OE，F(xiàn)H=2OH，在Rt△OEH中，根據勾股定理得到OE²+OH²=EH²=9，再根據等式的性質，在等式的兩邊同時乘以4，根據4=2²，把等式進行變形，并把EG=2OE，F(xiàn)H=2OH代入變形后的等式中，即可求出EG²+FH²的值．

解答：（1）解：如圖，∵E、F、G、H分別是線段AB、BC、CD、AD的中點，
∴EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線，EF、HG分別是△ACD、△ABC的中位線，
根據三角形的中位線的性質知，EH=FG=

1

2

BD，EF=HG=

1

2

AC，
又∵AC=BD，
∴EH=FG=EF=HG，
∴四邊形EFGH是菱形；

（2）如圖，設EG與HF交于點O．
由（1）知，四邊形EFGH是菱形，則EG⊥FH，EG=2OE，F(xiàn)H=2OH，
在Rt△OEH中，根據勾股定理得：OE²+OH²=EH²=16，
等式兩邊同時乘以4得：4OE²+4OH²=16×4=64，
∴（2OE）²+（2OH）²=64，
即EG²+FH²=64．

點評：此題主要考查了三角形中位線定理和菱形的判定方法，題目比較典型，又有綜合性，難度不大．