Question

14．如圖，△ABC為等邊三角形，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，F(xiàn)兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，若AB=4，則弦FC和弧FC組成的弓形面積$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC，∠B=∠C=60°，證出△OBD是等邊三角形，得出∠BOD=∠C，證出OD∥AC，得出DE⊥OD，即可得出結(jié)論；
（2）先證明△OCF是等邊三角形，得出CF=OC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=2，再由三角函數(shù)即可求出FH，然后根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）DE是⊙O的切線；理由如下：
連接OD，如圖1所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOD=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；
（2）連接OF，如圖2所示：
∵OC=OF，∠C=60°，
∴△OCF是等邊三角形，
∴∠COF=60°，
CF=OC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵FH⊥BC，
∴∠FHC=90°，
∴FH=CF•sin∠C=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴弦FC和弧FC組成的弓形面積=S_扇形COF-S_△COF=$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、平行線的判定、三角函數(shù)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．