Question

20．已知△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF，BE、CF交于M，連接MA．
（1）如圖1，若∠BAC=60°，求∠CMB的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠BAC=90°，則∠CMB=90°；
（3）如圖3，若∠BAC=a，則∠AMC=90°+$\frac{1}{2}$α．

Answer 1

分析 （1）由∠BAC=∠EAF可知∠BAE=∠CAF，依據(jù)SAS可知△BAE≌△CAF，由全等三角形的性質(zhì)可知∠ACM=∠ABM，故此可知點A、B、C、M共圓，由圓周角定理可知∠BMC=∠BAC=60°；
（2）由（1）可知∠BMC=∠BAC；
（3）由（1）的結(jié)論可知∠BMC=a，然后由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得到∠BCA的度數(shù)，于是可求得∠BMA的度數(shù)，最后可求得∠AMC的度數(shù)．

解答 解：（1）∵∠BAC=∠EAF，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，即∠BAE=∠CAF．
∵在△BAE和△CAF中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAF．
∴∠ACM=∠ABM．
∴點A、B、C、M共圓．
∴∠CMB=∠BAC=60°．
（2）由（1）可知：∠CMB=∠BAC．
∵∠BAC=90°，
∴∠CMB=90°．
故答案為：90°．
（3）由（1）可知：∠CMB=∠BAC．
∵∠BAC=α，
∴∠CMB=α．
∵AB=AC，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$×（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α．
∵由（1）可知點A、B、C、M共圓，
∴∠AMB=∠BCA=90°-$\frac{1}{2}$α．
∴∠AMC=∠AMB+∠BMC=90°-$\frac{1}{2}$α+α=90°+$\frac{1}{2}$α．
故答案為：90°+$\frac{1}{2}$α．

點評 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、圓周角定理、四點共圓，證得點A、B、C、M共圓是解題的關(guān)鍵．