Question

12．如圖，拋物線y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)D為已知拋物線的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若直線l過(guò)點(diǎn)E（4，0），M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)解方程$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3=0可得到A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）AC與直線x=-1交于點(diǎn)E，如圖1，先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3，則可確定E（-1，$\frac{9}{4}$），利用三角形面積公式得到BD∥AC，再求出直線BD的解析式，則可確定D點(diǎn)坐標(biāo)；然后利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)規(guī)律，把點(diǎn)D向上平移9個(gè)單位得到D′，則點(diǎn)D′到直線AC的距離等于點(diǎn)D到直線AC的距離，此時(shí)點(diǎn)D′滿足條件，接著寫出D′的坐標(biāo)即可；
（3）易得以點(diǎn)A和以B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的△ABM一定有2個(gè)，則以M為直角頂點(diǎn)的△ABC只能有1個(gè)，利用圓周角定理得到點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上，于是可判斷當(dāng)直線l與以AB為直徑的圓相切于M點(diǎn)時(shí)，在直線l上只有一個(gè)點(diǎn)M滿足∠AMB=90°，如圖2，拋物線的對(duì)稱軸交AB于G點(diǎn)，連結(jié)GM，作MH⊥x軸于H，接著求出M點(diǎn)的坐標(biāo)后利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式，然后作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′，如圖2，利用同樣方法可求出直線EM′的解析式即可．

解答 解：（1）∵當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x₁=-4，x₂=2，
∴A（-4，0），B（2，0）；

（2）拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-1，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），AC與直線x=-1交于點(diǎn)E，如圖1，
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（-4，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=$\frac{3}{4}$x+3=，則E（-1，$\frac{9}{4}$），
∵△ACD的面積等于△ACB的面積，
∴BD∥AC，
∴直線BD的解析式可設(shè)為y=$\frac{3}{4}$x+m，
把B（2，0）代入得$\frac{3}{2}$+m=0，解得m=-$\frac{3}{2}$，
∴直線BD的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$=-$\frac{9}{4}$，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-$\frac{9}{4}$）；
∵DE=$\frac{9}{4}$+$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{2}$，
把點(diǎn)D向上平移9個(gè)單位得到D′，則點(diǎn)D′到直線AC的距離等于點(diǎn)D到直線AC的距離，
此時(shí)D′的坐標(biāo)為（-1，$\frac{27}{4}$），
∴S_△AD′C=S_△ADC=S_△ABC，
綜上所述，滿足條件的D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-$\frac{9}{4}$）或（-1，$\frac{27}{4}$）；

（3）過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點(diǎn)的，即以點(diǎn)A或以B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的△ABM一定有2個(gè)，
∵以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)，
∴以M為直角頂點(diǎn)的△ABC只能有1個(gè)，
∵∠AMB=90°，
∴點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上，
∴當(dāng)直線l與以AB為直徑的圓相切于M點(diǎn)時(shí)，在直線l上只有一個(gè)點(diǎn)M滿足∠AMB=90°，
如圖2，拋物線的對(duì)稱軸交AB于G點(diǎn)，連結(jié)GM，作MH⊥x軸于H，則GM=$\frac{1}{2}$AB=3，
∵EM為切線，
∴GM⊥ME，
在Rt△GME中，ME=$\sqrt{G{E}^{2}-G{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵$\frac{1}{2}$MH•GE=$\frac{1}{2}$GM•ME，
∴MH=$\frac{12}{5}$，
在Rt△GMH中，GH=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴OH=GH-OG=$\frac{4}{5}$，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$），
設(shè)直線l的解析式為y=px+q，
把M（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$），E（4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{5}p+q=\frac{12}{5}}\\{4p+q=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-\frac{3}{4}}\\{q=3}\end{array}\right.$，
此時(shí)l的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3；
作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′，如圖2，則M′（$\frac{4}{5}$，-$\frac{12}{5}$），
同樣方法可求出直線EM′為y=$\frac{3}{4}$x-3，
綜上所述，滿足條件的直線l的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3或y=$\frac{3}{4}$x-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)和圓周角定理；會(huì)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，能利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)；會(huì)利用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．