Question

已知：如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)C在以D（-2，-2）為圓心，4為半徑的圓上，且經(jīng)過(guò)⊙D與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，連接AC、BC、OC．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求圖中陰影部分的面積；
（3）在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使DP所在直線(xiàn)平分線(xiàn)段OC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）作CH⊥x軸，垂足為H，CH必經(jīng)過(guò)圓心D，易得CH=6，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可以得到．
（2）連接OA，OC則陰影部分的面積S=S_扇形DAC-S_△DAC；
（3）設(shè)OC的中點(diǎn)是E，E點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出，利用待定系數(shù)法就可以求出直線(xiàn)DE的解析式，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P．

解答：解：（1）如圖，作CH⊥x軸，垂足為H，
∵直線(xiàn)CH為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸，
∴CH垂直平分AB，
∴CH必經(jīng)過(guò)圓心D（-2，-2）．
∵DC=4，
∴CH=6
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-6）．（3分）

（2）連接AD．
在Rt△ADH中，AD=4，DH=2，
∴∠HAD=30°，AH=

AD2-DH2

=2

3

（4分）
∴∠ADC=120°
∴S_扇形DAC=

120°×π×42

360°

=

16

3

π（5分）
S_△DAC=

1

2

AH•CD=

1

2

×2

3

×4=4

3

．（6分）
∴陰影部分的面積S=S_扇形DAC-S_△DAC=

16

3

π-4

3

．（7分）

（3）又∵AH=2

3

，H點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），H為AB的中點(diǎn)，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2-2

3

，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2

3

-2，0）．（8分）
又∵拋物線(xiàn)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，-6），
設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x+2）²-6．
∵B（2

3

-2，0）在拋物線(xiàn)上，
∴a（2

3

-2+2）²-6=0，
解得a=

1

2

．
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=

1

2

（x+2）²-6（9分）．
設(shè)OC的中點(diǎn)為E，過(guò)E作EF⊥x軸，垂足為F，連接DE，
∵CH⊥x軸，EF⊥x軸，
∴CH∥EF
∵E為OC的中點(diǎn)，
∴EF=

1

2

CH=3，OF=

1

2

OH=1．
即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，-3）．
設(shè)直線(xiàn)DE的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

-2=-2k+b -3=-k+b

，
解得k=-1，b=-4，
∴直線(xiàn)DE的解析式為y=-x-4．（10分）
若存在P點(diǎn)滿(mǎn)足已知條件，則P點(diǎn)必在直線(xiàn)DE和拋物線(xiàn)上．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），
∴n=-m-4，即點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，-m-4），
∴-m-4=

1

2

（m+2）²-6，
解這個(gè)方程，得m₁=0，m₂=-6
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-4）和（-6，2）．
故在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使DP所在直線(xiàn)平分線(xiàn)段OC．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及弓形面積的求法，轉(zhuǎn)化為扇形的面積與三角形的面積的差的問(wèn)題．