Question

如圖所示：在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，B點(diǎn)的坐標(biāo)（3，6），若點(diǎn)P從點(diǎn)O沿OA向點(diǎn)A以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)A沿AB以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動，如果P、Q分別從O、A同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，假設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，請解答下列問題：
（1）如圖1所示：用含有t的代數(shù)式表示△PAQ的面積；
（2）如圖1所示：當(dāng)t為何值時，線段PQ的長度為2

2

？
（3）如圖2所示：當(dāng)t為何值時，△PCQ為等腰三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專題：幾何動點(diǎn)問題

分析：（1）根據(jù)題意可得AP=3-t，AQ=2t，根據(jù)三角形面積公式即可求解；
（2）根據(jù)勾股定理得到關(guān)于t的方程，解方程即可求解；
（3）根據(jù)勾股定理得到PC，PQ，QC，再分PC=PQ，PC=QC，PQ=QC三種情況討論可求解．

解答：解：（1）根據(jù)題意可得AP=3-t，AQ=2t，
則△PAQ的面積（3-t）×2t÷2=t（3-t）；

（2）根據(jù)題意可得

(3-t)2+(2t)2

=2

2

，
解得t₁=1，t₂=0.2，
故當(dāng)t為1或0.2時，線段PQ的長度為2

2

；

（3）由勾股定理可得PC=

t2+36

，PQ=

(3-t)2+(2t)2

，CQ=

(6-2t)2+9

，
當(dāng)PC=PQ時，

t2+36

=

(3-t)2+(2t)2

，解得t=

3±3 13

4

（不合題意舍去）；
當(dāng)PC=QC時，

t2+36

=

(6-2t)2+9

，解得t=4±

13

，其中t=4+

13

不合題意舍去；
當(dāng)PQ=QC時，

(3-t)2+(2t)2

=

(6-2t)2+9

，解得t=-9±3

13

，其中t=-9-3

13

不合題意舍去．
故當(dāng)t為4-

13

或-9+3

13

，時，△PCQ為等腰三角形．

點(diǎn)評：考查了一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積，勾股定理，以及分類思想的運(yùn)用．