Question

（2011•甘孜州）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的圓分別交AB和BC于E、D兩點(diǎn)，AD與EC交于G點(diǎn)．過點(diǎn)D作DF⊥AB交AB于F，交AC的延長(zhǎng)線于H．
（1）求證：FH為⊙O的切線；
（2）若AC=6，BC=4，求DG．

Answer 1

分析：（1）首先連接OD，由AC為直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得∠ADC=90°，又由AB=AC，可得BD=CD，繼而可得OD是△ABC的中位線，即可得OD∥AB，由DF⊥AB，則可證得OD⊥FH，則可得FH為⊙O的切線；
（2）易證得△CGD∽△ACD，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得DG．

解答：解：（1）連接OD，
∵AC為直徑，
∴∠ADC=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OC，
∴OD∥AB，
∵HF⊥AF，
∴OD⊥FH，
∴FH為⊙O切線；

（2）∵AC=6，BC=4，
∴CD=

1

2

BC=2，
∵∠ADC=90°，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴

ED

=

CD

，
∴∠GCD=∠CAD，
∴△CGD∽△ACD，
∴

GD

CD

=

CD

AD

，
∴CD²=GD•AD，
在Rt△ADC中，AD=

AC2-CD2

=

32

=4

2

，
∴4=GD•4

2

，
∴GD=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)與判定、圓周角定理以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．