Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=BD，E為AD的中點，BE和CD的延長線相交于點F，連接AF．
（1）求證：AB=DF；
（2）判斷四邊形ABDF是什么四邊形，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵E為AD的中點，
∴AE=DE，
又∵在梯形ABCD中，AB∥CD，即AB∥CF，
∴∠DFE=∠ABE．
在△DEF和△AEB中有，，
∴△DEF≌△AEB（AAS），
∴AB=DF；

（2）解：四邊形ABDF是菱形，理由如下：
∵AB∥CD，
∴AB∥DF，
又由（1）得，AB=DF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∵AB=BD，
∴平行四邊形ABDF是菱形．
分析：（1）由E為AD的中點，得AE=DE，又由AB∥CD，得∠DFE=∠ABE，易證△DEF≌△AEB（AAS），即可得出結論；
（2）由AB∥DF且AB=DF，可得四邊形ABDF是平行四邊形，又AB=BD，所以可得平行四邊形ABDF是菱形．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定，熟練掌握菱形的判定性質(zhì)：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，是解答本題的關鍵．