Question

已知：AC是⊙O的直徑，PA⊥AC，連結(jié)OP，弦CB//OP，直線PB交直線AC于點(diǎn)D，BD=2PA．

1.證明：直線PB是⊙O的切線；

2.探索線段PO與線段BC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

3.求sin∠OPA的值．

 

Answer 1

 

1.連結(jié)OB．∵BC//OP，      ∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB．

又∵OC=OB，∴∠BCO=∠CBO，    ∴∠POB=∠POA．

又∵PO=PO，OB=OA，           ∴△POB≌△POA．

∴∠PBO=∠PAO=90°．          ∴PB是⊙O的切線．

2.2PO=3BC（寫PO=BC亦可）．

證明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA．

∵BD=2PA，∴BD=2PB．

∵BC//OP，∴△DBC∽△DPO．

∴．∴2PO=3BC．

注：開始沒有寫出判斷結(jié)論，正確證明也給滿分．

3. ∵△DBC∽△DPO，∴，即DC=OD．∴DC=2OC．

設(shè)OA=x，PA=y．則OD=3x，DB=2y．

在Rt△OBD中，由勾股定理，得(3x)²= x²+(2y)²．即2x²= y²．

∵x>0，y>0，∴y=x．OP=．

∴sin∠OPA=．

解析:根據(jù)切線定理證明圓的切線，有關(guān)計(jì)算的依據(jù)是三角形相似和勾股定理。