Question

18．利用勾股定理，可以作出長為$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$、…的線段，如圖：在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，則AC的長等于$\sqrt{5}$．在按同樣的方法，可以在數(shù)軸上畫出表示$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$、…的點．
（1）在數(shù)軸上作出表示-$\sqrt{2}$的點（尺規(guī)作圖，保留痕跡）．
（2）在數(shù)軸上作出表示$\sqrt{3}$的點（尺規(guī)作圖，保留痕跡）．

Answer 1

分析 利用勾股定理直接計算即可求出AC的長；
（1）作邊長為1的正方形ABOC，連接OA，以O為圓心，以OA為半徑畫弧交數(shù)軸的負半軸于D，即可得到答案．
（2）$\sqrt{3}$可以看作兩直角邊長分別為1，$\sqrt{2}$的直角三角形的斜邊長；而$\sqrt{2}$又可以看作兩直角邊長分別為1，1的直角三角形的斜邊長．

解答 解：∵在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，
∴AC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
（1）如圖所示：-$\sqrt{2}$所在的點的位置是D．

（2）如圖所示：

①作一個等腰直角三角形，使其兩直角邊都是1，則斜邊為$\sqrt{2}$；
②作一個直角三角形，使其兩直角邊分別為1，$\sqrt{2}$，則斜邊為$\sqrt{3}$；
③在數(shù)軸上，以原點O為圓心，$\sqrt{3}$為半徑畫弧，與數(shù)軸正半軸交于點A．
則點A就是所求的點．

點評 本題主要考查對勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸等知識點的理解和掌握，能正確畫圖是解此題的關鍵．