Question

如圖，邊長為4的正三角形的內(nèi)切圓半徑是

2 3

3

，外接圓半徑是

4 3

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)O為等邊△ABC的內(nèi)心（也是等邊△AB的外心），連接OA、OC、OB，設(shè)AO交BC于D，則AD⊥BC，BD=DC，即OB是△ABC外接圓的半徑，OD是△ABC內(nèi)切圓的半徑，求出BD=DC=2，求出∠OBD=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°，在Rt△OBD中，求出OD=BD•tan30°=

2 3

3

，根據(jù)OB=2OD求出OB即可．

解答：解：設(shè)O為等邊△ABC的內(nèi)心（也是等邊△AB的外心），連接OA、OC、OB，設(shè)AO交BC于D，
則AD⊥BC，BD=DC，
即OB是△ABC外接圓的半徑，OD是△ABC內(nèi)切圓的半徑，
∵BC=4，
∴BD=DC=2，
∵O為等邊△ABC內(nèi)切圓的圓心，
∴∠OBD=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°，
在Rt△OBD中，OD=BD•tan30°=2×

3

3

=

2 3

3

；
∴OB=2OD=

4 3

3

，
∴正三角形的內(nèi)切圓半徑是

2 3

3

，外接圓半徑是

4 3

3

．
故答案為：

2 3

3

，

4 3

3

．

點評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓、外接圓、含30度角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識，得出正三角形內(nèi)外心的關(guān)系是解題關(guān)鍵．