Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與D點(diǎn)重合），點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AM所在的直線對(duì)稱，連接AE，ME，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)F，使得BF＝DM，連接EF，AF．

（1）依題意補(bǔ)全圖1；

（2）若DM＝1，求線段EF的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)點(diǎn)M在CD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使△AEF為等腰三角形，直接寫出此時(shí)tan∠DAM的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）1或．

【解析】

（1）根據(jù)題意作出圖形便可，

（2）連接BM，先證明△ADM≌△ABF，再證明△FAE≌△MAB，求得BM，便可得EF；

（3）設(shè)DM＝x（x＞0），求出AE、AF、EF，當(dāng)△AEF為等腰三角形，分兩種情況：AE＝EF或AF＝EF，列出方程求出x的值，進(jìn)而求得最后結(jié)果．

解：（1）根據(jù)題意作圖如下：

（2）連接BM，如圖2，

∵點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AM所在直線對(duì)稱，

∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠D＝∠ABF＝90°，

∵BM＝BF，

∴△ADM≌△ABF（SAS），

∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD，

∴∠FAB＝∠NAE，

∴∠FAE＝∠MAB，

∴△FAE≌△MAB（SAS），

∴EF＝BM，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC＝CD＝AB＝3，

∵DM＝1，

∴CM＝2，

∴BM＝，

∴EF＝；

（3）設(shè)DM＝x（x＞0），則CM＝3﹣x，

∴EF＝BM＝，

∵AE＝AD＝3，AF＝AM＝，

∴AF＞AE，

∴當(dāng)△AEF為等腰三角形時(shí)，只能有兩種情況：AE＝EF，或AF＝EF，

①當(dāng)AE＝EF時(shí)，有＝3，解得x＝3

∴tan∠DAM＝；

②當(dāng)AF＝EF時(shí)，＝，解得，x＝，

∴tan∠DAM＝，

綜上，tan∠DAM的值為1或．

故答案為：tan∠DAM的值為1或．