Question

已知：如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線與BC邊相交于點E，∠ABC的平分線與AD邊相交于點F．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若AB=4cm，∠BAD=120°，求AE、BF的長．

Answer 1

（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
∴AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE
∵AF∥BE，且AF=BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵AB=AF，
∴平行四邊形ABEF是菱形；

（2）解：設AE，BF 的交點為O，
在△ABO中，已知AB=4，則AO=2，BO=2，
∴AE=2AO=4，BF=2BO=4．
分析：（1）由題意易得四邊形ABCD是平行四邊形，又可根據(jù)角平分線的定義和平行線的定義，求得AB=AF，所以四邊形ABEF是菱形．
（2）根據(jù)菱形的對角線相互垂直，且相互平分即可求解．
點評：本題考查菱形的判定和平行四邊形的性質(zhì)．難度適中，菱形的四條邊相等是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)．