Question

8．如圖所示，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度數(shù)；
（2）若OC=3，BC=3$\sqrt{3}$，求弧$\widehat{AB}$的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用垂徑定理證明$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，借助圓周角定理的推論即可解決問題；
（2）連接OB，根據(jù)勾股定理求出OA的長(zhǎng)，再由銳角三角函數(shù)的定義求出∠AOC的度數(shù)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵OD⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠DEB=$\frac{1}{2}$=26°，即∠DEB的度數(shù)為26°；

（2）連接OB，
∵OD⊥AB，BC=3$\sqrt{3}$，
∴AC=BC=3$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=6，tan∠AOC=$\frac{AC}{OC}$=$\frac{3\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
∴$\widehat{AB}$=$\frac{120π×3}{180}$=4π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．