Question

 已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點A（2，0），與y軸的交點為

B（0，-1）．

(1)求拋物線的解析式；

(2)在對稱軸右側的拋物線上找出一點C，使以BC為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點A．并求出點C的坐標以及此時圓的圓心P點的坐標．

(3)在（2）的基礎上，設直線x=t（0<t<10）與拋物線交于點N，當t為何值時，△BCN的面積最大，并求出最大值．

 

Answer 1

解析：（1）已知拋物線的頂點坐標，可直接設拋物線的解析式為頂點式進行求解.

（2）設C點坐標為（x,y）,由題意可知.過點C作軸于點D,連接AB,AC.易證,根據(jù)對應線段成比例得出的關系式，再根據(jù)點C在拋物線上得，聯(lián)立兩個關系式組成方程組，求出的值，再根據(jù)點C所在的象限確定點C的坐標。P為BC的中點，取OD中點H，連PH，則PH為梯形OBCD的中位線．可得,故點H的坐標為（5,0）再根據(jù)點P在BC上，可求出直線BC的解析式，求出點P的坐標。

（3）根據(jù),得，所以求的最大值就是求MN的最大值，而M,N兩點的橫坐標相同，所以MN就等于點N的縱坐標減去點M的縱坐標,從而形成關于MN長的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的最值求解。

解：(1) ∵拋物線的頂點是A(2,0)，設拋物線的解析式為.

由拋物線過B(0,-1) 得，∴．

∴拋物線的解析式為.

即．

 (2)設C的坐標為(x，y).

∵A在以BC為直徑的圓上.∴∠BAC=90°．

作CD⊥x軸于D ,連接AB、AC．

∵,∴

∴ △AOB∽△CDA． ∴

∴OB·CD=OA·AD．

即1·=2(x-2).∴=2x-4．

∵點C在第四象限.

∴

由解得  ．

∵點C在對稱軸右側的拋物線上.

∴點C的坐標為 (10,-16)．∵P為圓心，∴P為BC中點．

取OD中點H，連PH，則PH為梯形OBCD的中位線．

∴PH=(OB+CD)=．

∵D(10,0)∴H (5,0)∴P (5, )．  

故點P坐標為(5，)．

(3)設點N的坐標為，直線x=t（0<t<10）與直線BC交于點M.

，

所以

設直線BC的解析式為，直線BC經(jīng)過B(0,-1)、C (10,-16)

所以成立，解得：

所以直線BC的解析式為，則點M的坐標為.

MN==

      ==

所以，當t=5時，有最大值，最大值是.

點撥：（1）已知拋物線的頂點坐標（h,k）一般可設其解析式為.(2)求最值問題一般考慮根據(jù)已知條件構造二次函數(shù)求解.