Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c與一次函數(shù)經過點A（0，3），且拋物線的頂點坐標為C（1，4），過A點做x軸的平行線交拋物線于D點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接DC，AC，試在拋物線上找出點P，使得7S_△ACD=S_△PAD；
（3）直線與對稱軸交于B點，試在直線AD上找出一點E，使得E到B點的長度和到直線的距離之和最短．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點A（0，3），且拋物線的頂點坐標為C（1，4），
解得，
∴此拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）如圖1，
∵A（0，3），C（1，4），AD∥x軸，
∴D（2，3），
∴CF=1，
設P（x，-x²+2x+3），
∵點C是拋物線的頂點坐標，
∴點P必在x軸下方，
∵△ACD與△PAD同底，7S_△ACD=S_△PAD，
∴-（-x²+2x+3）=7，解得x=1-或x=1+（舍去），
∴P（1-，-7）；

（3）∵點A（0，3）在直線y=x+m上，
∴m=3，
∴直線y=x+m的解析式為y=x+3，
∵C（1，4），
∴直線CF的解析式為x=1，
∴B（1，+3），
如圖2，作點B關于x軸的對稱點B′，過點B′作直線y=x+m的垂線交直線AD于點E，則E點即為所求，
∵直線B′E⊥AB，
∴設直線B′E的解析式為y=-x+b，
∵點B與點B′關于直線AD對稱，AD∥x軸，AD的解析式為y=3，
∴B′（1，3-），
∴3-=-+b，解得b=3+，
∴直線B′E的解析式為y=-x+3+，
∴當y=3時，x=，
∴E（，3）．
分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c過點A（0，3），且拋物線的頂點坐標為C（1，4）列出關于a、b、c的方程組，求出a、b、c的值即可得出拋物線的解析式；
（2）先根據(jù)拋物線的頂點坐標為（1，4），故可得出D點坐標，由于拋物線的頂點坐標為（1，4），所以P點必在x軸的下方，設P點坐標為（x，-x²+2x+3），則-x²+2x+3＜0，再根據(jù)7S_△ACD=S_△PAD求出x的值即可；
（3）把點A（0，3）代入直線y=x+m求出m的值，故可得出直線的解析式，作點B關于x軸的對稱點B′，過點B′作直線y=x+m的垂線交直線AD于點E，根據(jù)互相垂直的兩條直線斜率的積等于1求出直線B′E的解析式，故可得出E點坐標．
點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，熟知用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式是解答此題的關鍵．