Question

如圖，拋物線y=ax²+2ax（a＜0）位于x軸上方的圖象記為F₁，它與x軸交于P₁、O兩點(diǎn)，圖象F₂與F₁關(guān)于原點(diǎn)O對稱，F(xiàn)₂與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為P₂，將F₁與F₂同時(shí)沿x軸向右平移P₁P₂的長度即可得到F₃與F₄；再將F₃與F₄同時(shí)沿x軸向右平移P₁P₂的長度即可得到F₅與F₆；…；按這樣的方式一直平移下去即可得到一系列圖象F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n．我們把這組圖象稱為“波浪拋物線”．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，①求圖象F₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②點(diǎn)H（2014，-3）

 

（填“在”或“不在”）該“波浪拋物線”上；若圖象F_n的頂點(diǎn)T_n的橫坐標(biāo)為201，則圖象F_n對應(yīng)的解析式為

 

，其自變量x的取值范圍為

 

．
（2）設(shè)圖象F_n、F_n+1的頂點(diǎn)分別為T_n、T_n+1（n為正整數(shù)），x軸上一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（12，0）．試探究：當(dāng)a為何值時(shí)，以O(shè)、T_n、T_n+1、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？并直接寫出此時(shí)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）①直接把a(bǔ)=-1代入拋物線的解析式即可得出結(jié)論；
②根據(jù)該“波浪拋物線”頂點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)分別為1和-1即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)OQ中點(diǎn)為O′，則線段T_nT_n+1經(jīng)過O′，再根據(jù)圖形平移的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，①y=ax²+2ax=-x²-2x=-（x+1）²+1，
∴圖象F₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，1）；
②∵該“波浪拋物線”頂點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)分別為1和-1，
∴點(diǎn)H（2014，-3），不在該“波浪拋物線”上，
∵圖象F_n的頂點(diǎn)T_n的橫坐標(biāo)為201，
201÷4=50…1，故其圖象與F₂，F(xiàn)₄…形狀相同，
則圖象F_n對應(yīng)的解析式為：y=（x-201）²-1，
其自變量x的取值范圍為：200≤x≤202．
故答案為：不在，y=（x-201）²-1，200≤x≤202．

（2）設(shè)OQ中點(diǎn)為O′，則線段T_nT_n+1經(jīng)過O′，
由題意可知OO′=O′Q，O′Tn=O′T_n+1，
∴當(dāng)T_nT_n+1=OQ=12時(shí)，四邊形OT_nT_n+1Q為矩形，
∴O′T_n+1=6，
∵F₁對應(yīng)的解析式為y=a（x+1）²-a，
∴F₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-a），
∴由平移的性質(zhì)可知，點(diǎn)T_n+1的縱坐標(biāo)為-a，
∴由勾股定理得（-a）²+1²=6²，
∴a=±

35

，
∵a＜0，
∴a=-

35

，故此時(shí)n的值為4．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，熟知二次函數(shù)平移的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值問題是解答此題的關(guān)鍵．