Question

已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為平面內(nèi)一點(diǎn)，且∠BDC=90°，若BD=

2

，CD=2

2

，則AD=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,等腰直角三角形

專題：分類討論

分析：作出圖形，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，利用勾股定理列式求出BC，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AF，利用三角形的面積求出DE，再求出EF，然后分A、D在BC的同側(cè)和異側(cè)兩種情況，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，
在Rt△BCD中，BC=

BD2+CD2

=

( 2 )2+(2 2 )2

=

10

，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴AF=BF=

1

2

BC=

10

2

，
S_△BCD=

1

2

×

10

•DE=

1

2

×

2

×2

2

，
解得DE=

2 10

5

，
所以，BE=

( 2 )2-( 2 10 5 )2

=

10

5

，
EF=

10

2

-

10

5

=

3 10

10

，
若點(diǎn)A、D在BC的同側(cè)，則AD=

( 3 10 10 )2+( 10 2 - 2 10 5 )2

=1；
若點(diǎn)A、D在BC的異側(cè)，則AD=

( 3 10 10 )2+( 10 2 + 2 10 5 )2

=3，
綜上所述，AD的長(zhǎng)為1或3．
故答案為：1或3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，難點(diǎn)在于分情況討論．