Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+6與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，將∠OBA對折，使點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)H落在直線AB上，折痕交x軸于點(diǎn)C。

（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)為D，在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC的交點(diǎn)為T，Q為線段BT上一點(diǎn)，直接寫出|QA-QO|的取值范圍。

Answer 1

解：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0） ∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（8，0），B（0，6）， ∴可設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x-3）（x-8） 將x=0，y=6代A拋物線的解析式，得a=， ∴過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=x2-x+6；
（2）可得拋物線的對稱軸為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為， 設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為G， 直線BC的解析式為y=-2x+6， 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-2x+6）， 如圖，作OP∥AD交直線BC于點(diǎn)P，連接AP，作PM⊥x軸于點(diǎn)M ∵OP∥AD， ∴∠POM=∠CAD，tan∠POM=tan∠GAD， ∴，即， 解得x=，經(jīng)檢驗(yàn)x=是原方程的解， 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為， 但此時(shí)OM=，GA=，OM<GA， ∵， ∴OP<AD，即四邊形的對邊OP與AD平行但不相等， ∴直線BC上不存在符合條件的點(diǎn)P；
（3）|QA-QO|的取值范圍是0≤x≤4。 說明：如圖，由對稱性可知QO=QH，|QA-QO|=|QA-QH|， 當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，Q、H、A三點(diǎn)共線，|QA-QO|取得最大值4（即為AH的長）； 設(shè)線段OA的垂直平分線與直線BC的交點(diǎn)為K，當(dāng)點(diǎn)口與點(diǎn)K重合時(shí)，|QA-QO|取得最小值0。