Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，如果點P 的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點P為和諧點，例如點（1，1），（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$），（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），…都是和諧點，若二次函數(shù)y=ax²+4x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個和諧點（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），當(dāng)0≤x≤m時，函數(shù)y=ax²+4x+c-$\frac{3}{4}$（a≠0）的最小值為-3，最大值為1，則m的取值范圍是2≤m≤4．

Answer 1

分析 根據(jù)和諧點的概念令ax²+4x+c=x，即ax²+3x+c=0，由題意，△=3²-4ac=0，即4ac=9，方程的根為$\frac{-3}{2a}$=$\frac{3}{2}$，從而求得a=-1，c=-$\frac{9}{4}$，所以函數(shù)y=ax²+4x+c-$\frac{3}{4}$=-x²+4x-3，根據(jù)函數(shù)解析式求得頂點坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的交點坐標(biāo)，根據(jù)y的取值，即可確定x的取值范圍．

解答 解：令ax²+4x+c=x，即ax²+3x+c=0，
由題意，△=3²-4ac=0，即4ac=9，
又方程的根為$\frac{-3}{2a}$=$\frac{3}{2}$，
解得a=-1，c=-$\frac{9}{4}$．                           
故函數(shù)y=ax²+4x+c-$\frac{3}{4}$=-x²+4x-3，
如圖，該函數(shù)圖象頂點為（2，1），與y軸交點為（0，-3），由對稱性，該函數(shù)圖象也經(jīng)過點（4，-3）．                            

由于函數(shù)圖象在對稱軸x=2左側(cè)y隨x的增大而增大，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，且當(dāng)0≤x≤m時，函數(shù)y=-x²+4x-3的最小值為-3，最大值為1，
∴2≤m≤4，
故答案為：2≤m≤4．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)以及根的判別式等知識，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．