Question

8．如圖：在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，過點O的直線EF分別與AD、BC交于點E、F，EF⊥AC，連結AF、CE．
（1）求證：OE=OF；
（2）請判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形，請證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)平行四邊形的性質可得AD∥BC，OA=CO，再證明△AEO≌△CFO可得OE=OF；
（2）根據(jù)△AEO≌△CFO可得AE=CF，然后可得四邊形AECF平行四邊形，再由條件EF⊥AC可得四邊形AECF是菱形．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD平行四邊形，
∴AD∥BC，OA=CO，
∴∠DAO=∠BCO，
在△AEO和△CFO中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠FOC}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF；

（2）答：四邊形AECF是菱形，
∵△AEO≌△CFO，
∴AE=CF，
∵AE∥FC，
∴四邊形AECF平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定和性質，以及菱形的判定，關鍵是掌握對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．