Question

1．已知：如圖，在△ABC中，CB=CA，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若BD=1，cosB=$\frac{1}{2}$，求$\widehat{DB}$的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理證得CD⊥AB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AD=BD，根據(jù)三角形中位線定理得出OD∥AC，證得DE⊥DO，即可證得結(jié)論；
（2）證得△OBD是等邊三角形，求得圓心角和半徑，根據(jù)弧長公式即可求得．

解答 解：（1）連接CD，
∵BC是圓的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴AD=BD，
連接OD，則DO是△ABC的中位線，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO，
∴DE是⊙O的切線；
（2）∵cosB=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠BOD=60°，OB=OD=BD=1，
∴$\widehat{DB}$的長=$\frac{60π×1}{180}$=$\frac{1}{3}$π．

點評 本題考查了切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是連接圓心和切點（有可能是要證明的切點）得垂直（證明垂直）．