Question

2．如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，E是AD上一點，且BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，在BC上取一點F，使BF=AB
（1）求證：△ABE≌△FBE；
（2）求證：∠D=∠EFC；
（3）下列四個結(jié)論：①點E是AD中點，②BC=AB+CD，③∠BEC=90°中，正確的結(jié)論有哪些？請從中選擇一個正確的結(jié)論加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩邊及其夾角相等的兩個三角形全等即可判定．
（2）欲證明∠D=∠EFC，只要證明△ECF≌△ECD即可．
（3）由△EBA≌△EBF，△ECF≌△ECD，即可夾角問題．

解答 （1）證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠EBA=∠EBF，
在△EBA和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{∠EBA=∠EBF}\\{BA=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBA≌△EBF．
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECB=$\frac{1}{2}$∠DCB，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∴∠BEC=90°，
∵△EBA≌△EBF，
∴∠BEA=∠BEF，
∵∠BEF+∠FEC=90°，∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠CED=∠CEF，
在△ECF和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠FEC}\\{EC=EC}\\{∠ECF=∠ECD}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△ECD，
∴∠D=∠EFC．
（3）①②③都是正確的．
理由：∵∠BEC=90°（已證明）故③正確．
∵△EBA≌△EBF，△ECF≌△ECD，
∴AE=EF，EF=DE，AB=BF，CF=CD，
∴AE=ED，BC=BF+CF=AB+CD，故①②正確．
∴①②③正確．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．