Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，延長CD到E，使DE=DC，連接BE交AD于F，交AC于G．
（1）若BE為∠ABC的平分線，求證：BC=AF+DE；
（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求GF的長．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由在平行四邊形ABCD中，BE為∠ABC的平分線，易證得△ABF與△BCE是等腰三角形，然后由平行四邊形的性質(zhì)，即可證得BC=AF+DE；
（2）由BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，可得BF是角平分線，△ABG是含30°角的直角三角形的性質(zhì)，然后由△AGF∽△CGB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=CD，
∴∠AFB=∠CBF，
∵BE為∠ABC的平分線，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AF=AB，
∴CD=AF，
同理：BC=CE，
∴BC=CE=CD+DE=AF+DE；

（2）在BC上截取BN=AB=1，連接AN，
∵∠ABC=60°，
∴△ANB是等邊三角形，
∴AN=1=BN，∠ANB=∠BAN=60°，
∵BC=2AB=2，
∴CN=1=AN，
∴∠ACN=∠CAN=

1

2

×60°=30°，
∴∠BAC=90°．
∴∠CBF=∠E=30°，
∴∠ABF=∠CBF=30°，
∴BG=

AB

cos30°

=

2 3

3

，
∴AF=AB=DE=1，BC=2AB=2DE=2，
∵△AGF∽△CGB，
∴GF：BG=AF：BC=1：2，
∴GF=

3

3

．

點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的對應(yīng)邊成比例、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．