Question

已知圓內接四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，AB＞CD，若CD=4，則AB的弦心距是

 

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Answer 1

分析：設AC和BD的交點是O．過點O作GH⊥CD于G，交AB于H．根據等角的余角相等以及圓周角定理可以證明點H是AB的中點．再過點O作MN⊥AB于M，交CD于點N．同樣可以證明N是CD的中點．設該圓的圓心是O′，連接O′N、O′H．根據垂徑定理的推論，得O′N⊥CD，O′H⊥AB．則O′N∥GH，O′H∥MN，則四邊形O′NOH是平行四邊形，則O′H=ON=

1

2

CD=2．

解答：解：如圖，設AC與BD的交點為O，過點O作GH⊥CD于G，交AB于H；作MN⊥AB于M，交CD于點N．
在Rt△COD中，∠COD=90°，OG⊥CD；
∴∠DOG=∠DCO；
∵∠GOD=∠BOH，∠DCO=∠ABO，
∴∠ABO=∠BOH，即BH=OH，同理可證，AH=OH；
即H是Rt△AOB斜邊AB上的中點．
同理可證得，M是Rt△COD斜邊CD上的中點．
設圓心為O′，連接O′M，O′H；則O′M⊥CD，O′H⊥AB；
∵MN⊥AB，GH⊥CD；
∴O′H∥MN，OM∥GH；即四邊形O′HOM是平行四邊形；
因此OM=O′H．由于OM是Rt△OCD斜邊CD上的中線，所以OM=O′H=

1

2

CD=2．
故答案是：2．

點評：此題綜合運用了等角的余角相等以及等弧所對的圓周角相等，發(fā)現垂直于一邊的直線，和另一邊的交點正好是它的中點．再根據垂徑定理的推論，得到垂直，發(fā)現平行四邊形．根據平行四邊形的對邊相等，即可求解．