Question

10．如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，C為圓弧上一點，AD垂直于過C點的直線CD，垂足為D，AB的延長線交直線CD于點E，連接OD交AC于點G，AC平分∠DAB．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若$\frac{CG}{GA}$=$\frac{3}{4}$，求$\frac{OE}{AE}$的值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠DAC=∠CAB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAB=∠ACO，等量代換得到∠DAC=∠ACO，推出AD∥OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OC⊥DE，即可得到結(jié)論；
（2）由于OC∥AD，推出△OCG∽△DAG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{OC}{DA}$=$\frac{CG}{AG}$=$\frac{3}{4}$，由于OC∥AD，推出△ECO∽△EDA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵OC∥AD，
∴△OCG∽△DAG，
∴$\frac{OC}{DA}$=$\frac{CG}{AG}$=$\frac{3}{4}$，
∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴$\frac{OE}{AE}$=$\frac{OC}{AD}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．