Question

如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，AD的垂直平分線交AD于點(diǎn)G，交AC于H，交BC的延長線于點(diǎn)F．
求證：FD²=FB•FC．

Answer 1

分析：由FE是AD的垂直平分線得到FA=FD，再根據(jù)等邊對等角得到∠FAD=∠FDA，而∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，其中由AD是∠BAC的平分線可以得到∠1=∠2，可得∠BAF=∠ACF，再加上公共角∠BFA=∠AFB，可得△BAF∽△ACF，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．

解答：證明：連接AF，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2，
∵FE是AD的垂直平分線，
∴FA=FD（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等），
∴∠FAD=∠FDA（等邊對等角），
∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，
∴∠BAF=∠ACF，
又∵∠BFA=∠AFB，
∴△BAF∽△ACF，
∴

AF

BF

=

CF

AF

，
∴AF²=BF•CF，
∴DF²=BF•CF．

點(diǎn)評：此題利用了角平分線的性質(zhì)、線段的垂直平分線性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是證明△BAF∽△ACF．