Question

18．如圖，函數(shù)y₁=k₁x+b₁過A（-2，0），B（0，1）兩點．
（1）求y₁與x之間的函數(shù)表達式；
（2）當(dāng)x取何值時，0$≤{y}_{1}＜\frac{5}{3}$；
（3）函數(shù)y₂=k₂x+b₂經(jīng)過二、三、四象限，與x、y軸分別交于C、D兩點，若△COD和△AOB全等，求y₂與x之間的函數(shù)表達式．

Answer 1

分析 （1）由點A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出y₁與x之間的函數(shù)表達式；
（2）分別求出當(dāng)y₁=0或$\frac{5}{3}$時，x的值，再根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論；
（3）△COD和△AOB全等分兩種情況考慮：①當(dāng)△COD≌△AOB時，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找出C、D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出y₂與x之間的函數(shù)表達式；②當(dāng)△DOC≌△AOB時，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找出C、D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出y₂與x之間的函數(shù)表達式．綜合①②即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）將A（-2，0）、B（0，1）代入y₁=k₁x+b₁中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-2{k}_{1}+_{1}}\\{1=_{1}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{1}{2}}\\{_{1}=1}\end{array}\right.$，
∴y₁與x之間的函數(shù)表達式為y₁=$\frac{1}{2}$x+1．
（2）由y₁=0得：$\frac{1}{2}$x+1=0，解得：x=-2；
由y₁=$\frac{5}{3}$得：$\frac{1}{2}$x+1=$\frac{5}{3}$，解得：x=$\frac{4}{3}$．
∵k₁=$\frac{1}{2}$＞0，
∴y₁隨x的增大而增大，
∴當(dāng)-2≤x＜$\frac{4}{3}$時，0$≤{y}_{1}＜\frac{5}{3}$．
（3）∵A（-2，0），B（0，1），
∴在△AOB中，OA=2，OB=1，∠AOB=90°，
又∵在△COD中，∠COD=90°．
∴△COD和△AOB全等有兩種情況：
①當(dāng)△COD≌△AOB時，OC=OA=2，OD=OB=1，
∵函數(shù)y₂=k₂x+b₂經(jīng)過二、三、四象限，與x、y軸分別交于C、D兩點，
∴C（-2，0），D（0，-1）．
將C（-2，0）、D（0，-1）代入y₂=k₂x+b₂中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-2{k}_{2}+_{2}}\\{-1=_{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{1}{2}}\\{_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∴y₂與x之間的函數(shù)表達式為y₂=-$\frac{1}{2}$x-1；
②當(dāng)△DOC≌△AOB時，OD=OA=2，OC=OB=1，
∵函數(shù)y₂=k₂x+b₂經(jīng)過二、三、四象限，與x、y軸分別交于C、D兩點，
∴C（-1，0），D（0，-2）．
將C（-1，0）、D（0，-2）代入y₂=k₂x+b₂中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-{k}_{2}+_{2}}\\{-2=_{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-2}\\{_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∴y₂與x之間的函數(shù)表達式為y₂=-2x-2．
綜上可知：若△COD和△AOB全等，則y₂與x之間的函數(shù)表達式為y₂=-$\frac{1}{2}$x-1或y₂=-2x-2．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性解不等式；（3）分△COD≌△AOB和△DOC≌△AOB兩種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找出相等的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．