Question

關(guān)于x的方程（m-8）x²-2（m-4）x-（m+2）=0至少有一個(gè)負(fù)根，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)m=8時(shí)，方程為-8x-10=0，
∴x=-，此時(shí)方程一定有負(fù)根；
（2）當(dāng)m≠8，此時(shí)方程為一元二次方程，
∵x的方程（m-8）x²-2（m-4）x-（m+2）=0至少有一個(gè)負(fù)根，
可以假設(shè)方程沒(méi)有一個(gè)負(fù)根，那么方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根或是兩個(gè)非負(fù)根，設(shè)根為x₁，x₂，
∴△＜0或，
∴m²-7m＜0或，
∴0＜m＜7或，
∴-2≤m＜7，
故所求m的取值范圍為m＜-2或m≥7．
分析：（1）當(dāng)m=8時(shí)，方程為一元一次方程，此時(shí)方程一定有負(fù)根；
（2）當(dāng)m≠8時(shí)，方程為一元二次方程，由于關(guān)于x的方程（m-8）x²-2（m-4）x-（m+2）=0至少有一個(gè)負(fù)根，可以假設(shè)方程沒(méi)有一個(gè)負(fù)根，由此利用判別式和一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于m的不等式組，解不等式組即可解決問(wèn)題．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的判別式與根的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系，解題是首先根據(jù)判別式、根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于m的不等式組，然后解不等式組即可解決問(wèn)題，此題比較難，對(duì)于學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力要求比較高，平時(shí)注意訓(xùn)練．