Question

如圖1，矩形OABC中，AB=8，OA=4，把矩形OABC折疊，使點B與點O重合，點C移到點F位置，折痕為DE．
（1）求OD的長；
（2）請判斷△OED的形狀，并說明理由；
（3）如圖2，以O點為坐標原點，OC、OA 所在的直線分別為x軸、y軸，建立直角坐標系，求直線DE的函數(shù)表達式，并判斷點B關于x軸對稱的點B′是否在直線DE上？

Answer 1

分析：（1）設OD=x，則DB=x，AD=8-x，在RT△AOD中利用勾股定理可得OD²=AD²+OA²，即x²=（8-x）²+4²，解出即可得出答案．
（2）先由折疊的性質(zhì)得出∠2=∠1，進而判斷出四邊形OABC是矩形，從而得出∠1=∠3，這樣即可判斷出答案．
（3）根據(jù)題意求出點E坐標，利用待定系數(shù)法確定DE的解析式，繼而確定B'的坐標，代入解析式可判斷出是否在直線DE上．

解答：解：（1）如圖1，由對折可得：OD=DB，
設OD=x，則DB=x，AD=8-x，
在Rt△AOD中，OA=4，
∴OD²=AD²+OA²，即x²=（8-x）²+4²，
解得x=5，
所以OD的長為5．

（2）△OED是等腰三角形．
理由如下：由對折可得：∠2=∠1，
∵四邊形OABC是矩形，
∴AB∥OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD=OE，
∴△OED是等腰三角形．

（3）由（1）得：AD=8-5=3，
∴D（3，4），
由（2）得：OD=OE=5，
∴E（5，0），
設直線DE的關系式為 y=kx+b，則

3k+b=4 5k+b=0

，
解得：

k=-2 b=10

∴直線DE為y=-2x+10，
點B關于x軸對稱的點B′的坐標為（8，-4），
∵把x=8代入y=-2x+10，得：y=-6≠-4，
∴點B′不在直線DE上．

點評：此題考查了翻折變換的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理及矩形的性質(zhì)，屬于綜合型題目，解答本題的關鍵是所涉及知識點的融會貫通，難度較大．